שיעור 36: קיץ 2022 מועד א (שאלון 471) – שאלה 1

פרק 7 – שאלות בגרות 472 – סדרות (תרגול ברמת 4 יחידות)

1נוסח השאלה

2סעיף א – סוג הסדרה והאיבר הכללי

3סעיף ב – איברים חיוביים והשלילי הראשון

4סעיף ג – מספר האיברים

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה המוגדרת לכל n טבעי על ידי כלל הנסיגה: a₁ = 84 , a_n+1 = a_n − 2.

א. (1) האם הסדרה הנתונה חשבונית או הנדסית? נמקו את תשובתכם. (2) כתבו את נוסחת האיבר הכללי של הסדרה.

ב. (1) כמה איברים חיוביים יש בסדרה? (2) כתבו את ערכו של האיבר השלילי הראשון בסדרה.

נתון כי סכום האיברים השליליים בסדרה שווה ל־−552.

ג. כמה איברים סך הכול יש בסדרה הנתונה?

סעיף א – סוג הסדרה והאיבר הכללי

(1) a_n+1 − a_n = −2 – ההפרש בין כל שני איברים עוקבים קבוע, ולכן הסדרה חשבונית עם d = −2.

(2)

a_n = 84 + (n − 1)(−2) = 84 − 2n + 2 = 86 − 2n

📐 סדרה חשבונית

✅ פתרון סופי: (1) חשבונית , d = −2 (2) a_n = 86 − 2n

📐 סדרה חשבונית

a_n = a₁ + (n − 1)d
S_n = n(a₁ + a_n)2

סעיף ב – איברים חיוביים והשלילי הראשון

(1)

86 − 2n > 0 ⟸ n < 43

האיברים a₁ עד a₄₂ חיוביים (a₄₃ = 0).

(2) השלילי הראשון הוא a₄₄:

a₄₄ = 86 − 88 = −2

✅ פתרון סופי: (1) 42 איברים (2) −2

סעיף ג – מספר האיברים

האיברים השליליים: −2 , −4 , −6 , … – סדרה חשבונית עם a₁ = −2 , d = −2. נסמן את מספרם k. האחרון: −2k:

k(−2 − 2k)2 = −552

📐 סדרה חשבונית

−k(1 + k) = −552 ⟸ k² + k − 552 = 0

k = −1 ± √1 + 22082 = −1 ± 472

📐 נוסחת השורשים

k = 23 (k = −24 נפסל)

סך הכול: 42 חיוביים, האפס a₄₃ ו־23 שליליים:

📐 סדרה חשבונית

a_n = a₁ + (n − 1)d
S_n = n(a₁ + a_n)2

📐 נוסחת השורשים

x_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

סעיף ג – מספר האיברים · המשך

סך הכול: 42 חיוביים, האפס a₄₃ ו־23 שליליים:

42 + 1 + 23 = 66

✅ פתרון סופי: 66 איברים

📌 סיכום התשובות

סעיף א

חשבונית ; a_n = 86 − 2n

סעיף ב

42 ; −2

סעיף ג

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא